✎✏✐ Penerapan Induksi Matematika ✐✏✎
Setiap cabang olahraga umumnya memiliki sistem penskoran masing-masing. Misalnya dalam sepak bola sistem skor yang digunakan adalah sistem 1 poin (skor 1 untuk tiap gol). Pada bola basket, sistem skor yang digunakan adalah sistem 2 poin (untuk tembakan dari dalam busur ring) dan 3 poin (untuk tembakan dari luar busur ring). Dalam tinju digunakan sistem 9 poin dan 10 poin (skor 10 untuk petinju yang lebih unggul per ronde). Tahukah kamu, bahwa dalam suatu perlombaan yang menggunakan sistem penskoran 5 poin dan 7 poin, suatu tim atau atlet tidak mungkin memperoleh total skor 23? Akan tetapi, tim tersebut selalu mungkin untuk memperoleh total skor yang lebih dari 23 misalnya 24, 25, 26, dan seterusnya. Pada topik ini, kamu akan menerapkan prinsip induksi matematika untuk menjelaskan masalah penskoran tersebut.
Pada topik-topik sebelumnya, kamu telah mempelajari prinsip induksi matematika (induksi matematika lemah) dan induksi matematika kuat. Prinsip induksi matematika (lemah) digunakan untuk menentukan kebenaran dari pernyataan ke-(k + 1) berdasarkan pernyataan sebelumnya yaitu pernyataan ke-k. Prinsip induksi matematika kuat digunakan untuk membuktikan kebenaran dari pernyataan ke-(k+ 1) berdasarkan satu atau lebih pernyataan sebelumnya. Umumnya, kedua prinsip induksi matematika tersebut digunakan untuk membuktikan rumus penjumlahan bilangan dan pertidaksamaan. Secara matematis, kedua bentuk induksi matematika ini dapat dinyatakan sebagai berikut.
Prinsip Induksi Matematika
Induksi matematika merupakan cara penarikan kesimpulan untuk membuktikan bahwa semua bilangan asli n memenuhi sifat P (n) dengan langkah-langkah sebagai berikut.
- Langkah dasar: P (n) benar untuk n = 1.
Langkah induksi:
untuk setiap bilangan asli k, jika F (n) benar, maka P (k + 1) juga bernilai benar.Kesimpulan:
P (n) benar untuk semua bilangan asli n.
Prinsip Induksi Matematika Kuat
Induksi matematika kuat merupakan suatu cara penarikan kesimpulan untuk membuktikan bahwa semua bilangan asli n memenuhi sifat P (n) dengan langkah-langkah sebagai berikut.
- Langkah dasar: P (n) benar untuk n = 1.
Langkah induksi:
untuk setiap bilangan asli k, jika P (1), P (2), P (3), ... , P (k) benar, maka P (k + 1) juga bernilai benar.Kesimpulan:
P (n) benar untuk setiap bilangan asli n.
Kedua bentuk induksi matematika tersebut memiliki kesamaan dengan efek domino. Coba kamu bayangkan suatu susunan domino yang tersusun rapat. Jika domino pertama jatuh yang berarti P (1) benar, maka akan mengakibatkan domino-domino berikutnya jatuh (P (2), P (3), ... , P (k), P (k + 1) benar), sehingga akhirnya semua domino yang ada terjatuh (P (n) benar).
Mari pelajari beberapa contoh berikut ini dengan saksama. Contoh-contoh tersebut memberikan gambaran penerapan prinsip induksi matematika. Penerapan induksi matematika kuat akan dibahas pada topik berikutnya.
✎ Contoh 1
Misalkan kamu berada dalam suatu antrian untuk membeli ayam goreng. Orang pertama yang berada paling depan memesan dada goreng crispy. Ketika orang yang berada tepat di depanmu memesan dada goreng crispy, kamu dan orang di belakangmu juga memesannya. Berapa banyak orang dalam antrian yang memesan dada goreng crispy?
Penyelesaian:
Dengan menggunakan prinsip induksi matematika, mari kita analisis informasi pada soal.
Misalkan terdapat sebanyak n orang yang mengantri dengan x1 , x2 , x3 , ... , xn melambangkan orang dalam antrian tersebut.
Ini berarti, kamu tidak dapat dengan pasti menentukan urutan antrianmu.
Misalkan x1 dan xn berturut-turut melambangkan orang pertama dan terakhir dalam antrian.
Langkah-langkah pembuktiannya adalah sebagai berikut.
♦ Langkah Dasar
Orang pertama dalam antrian memesan dada goreng crispy, P (x1) benar.
♦ Langkah Induksi
Jika orang di depan kamu memesan dada goreng crispy (P (xk) benar), maka kamu juga memesan dada goreng crispy (P (xk + 1) benar).
♦ Kesimpulan
Jadi, semua orang dalam antrian memesan dada goreng crispy (F (xk) benar).
Catatan:
Induksi matematika dalam antian ini terjadi karena terdapat suatu kondisi yaitu ketika seseorang (kamu) memesan dada goreng crispy, orang pada urutan berikutnya juga memesan ayam goreng crispy.
✎ Contoh 2
Rani dan Fani bermain lempar koin dengan aturan sebagai berikut. Jika sisi koin yang muncul adalah sisi gambar, maka ia memperoleh skor 3. Jika sisi angka yang muncul, maka ia memperoleh skor 5. Buktikan bahwa, mereka selalu mungkin untuk memperoleh total skor yang lebih dari atau sama dengan 8.
Penyelesaian:
Misalkan P (n) menyatakan total skor yang merupakan kombinasi jumlah dari beberapa skor 3 dan 5.
Ini berarti, P (n) dapat dituliskan sebagai kombinasi penjumlahan dari 3 dan 5 yaitu P (n) = P (x, y) = 3x + 5y dengan x dan y menyatakan banyaknya skor 3 dan skor 5 yang dapat digunakan untuk mendapatkan total skor P (n).
Langkah-langkah pembuktiannya adalah sebagai berikut.
♦ Langkah Dasar
Untuk n = 1:
P (1) = P (1, 1) = 3(1) + 5(1) = 3 + 5 = 8
Ini berarti, total skor 8 dapat diperoleh dari satu buah skor 3 dan satu buah skor 5.
∴ P (1) benar.
♦ Langkah Induksi
Untuk setiap bilangan asli k, andaikan P (k) ≥ 8 benar.
Ini berarti P (k) = P (x, y) = 3x + 5y ≥ 8.
Selanjutnya, akan ditunjukkan bahwa P (k + 1) ≥ 8 juga benar.
Kebenaran P (k + 1) ≥ 8 ditunjukkan dengan memodifikasi kombinasi banyaknya skor 3 dan 5 pada P (k) = P (x, y) = 3x + 5y ≥ 8
dengan cara-cara sebagai berikut.
Mengganti 4 buah skor 3 dengan 4 buah skor 5.
Mengganti 2 buah skor 5 dengan 6 buah skor 3.
Oleh karena P (k) ≥ 8 benar dan k + 1 > k, maka P (k + 1) ≥ 8.
Ini berarti, terbukti bahwa P (k + 1) ≥ 8 benar.
♦ Kesimpulan
Jadi, mereka selalu mungkin untuk memperoleh total skor yang lebih dari atau sama dengan 8.
✎ Contoh 3
Buktikan bahwa jumlah n bilangan asli ganjil pertama sama dengan n2 untuk n ≥ 1.
Penyelesaian:
Untuk beberapa kasus sederhana, seperti:
1 + 3 = 22
1 + 3 + 5 = 33
1 + 3 + 5 + 7 = 42
Hasil penjumlahan untuk beberapa bilangan ganjil pertama mudah diperiksa. Namun, untuk penjumlahan yang melibatkan banyak bilangan ganjil, pengecekan akan mustahil dilakukan satu per satu. Untuk itu, kita dapa menggunakan prinsip induksi matematika untuk membuktikan pernyataan tersebut.
Misalkan S (n) menyatakan jumlah n bilangan ganjil pertama.
Langkah-langkah pembuktiannya adalah sebagai berikut.
♦ Langkah Dasar
Untuk n = 1, S (1) = 1 = 12 benar.
♦ Langkah Induksi
Untuk setiap bilangan asli k, andaikan S (k) benar.
Selanjutnya, akan ditunjukkan bahwa S (k + 1) juga benar sebagai berikut.
Tambahkan kedua ruas dengan 2k + 1.
Ini berarti, terbukti bahwa S (k + 1) benar.
♦ Kesimpulan
Jumlah n bilangan asli ganjil pertama sama dengan n2 benar untuk n ≥ 1.
