Notasi Sigma

 NOTASI SIGMA

Pernahkan kalian melihat deretan bilangan yang memiliki pola seperti berikut?

1. 2 + 4 + 6 + 8 + 10 + 12
2. 15 + 10 + 5 + 0 - 5 - 10 - 15
3. a + 3a2 + 9a3 + 27a4
4. -5 + 9 - 13 + 17 - 21

Tentunya kalian pernah melihat pola di atas dalam topik deret aritmetika dan deret geometri.

Nah, apakah kalian pernah berfikir untuk menuliskan deret tersebut hanya dengan sebuah simbol?

Deret bilangan pada contoh di atas dapat disederhanakan penulisannya dengan menggunakan notasi sigma (Σ). Sigma adalah salah satu huruf kapital Yunani, yang berarti jumlah.

Secara umum, jika U1, U2, U3, ... , Un adalah suku-suku sebuah deret bilangan, maka

Jika kita lihat, nilai i bermula dari 1 dan berakhir sampai nilai n.
Nah, i = 1 selanjutnya disebut batas bawah dan i = n disebut batas atas, sedangkan Ui menyatakan rumus umum deret atau rumus suku ke-i.

Yuk kita coba nyatakan contoh deret bilangan di atas ke dalam notasi sigma.

① 2 + 4 + 6 + 8 + 10 + 12

Pola dari deret di atas adalah sebagai berikut:

• 2 = 2 x 1
• 4 = 2 x 2
• 6 = 2 x 3
• 8 = 2 x 4
• 10 = 2 x 5
• 12 = 2 x 6

Berdasarkan pola di atas, dapat kita simpulkan bahwa rumus umum dari deret di atas
adalah Ui = 2i. Selanjutnya, karena banyak suku adalah 6, maka
2 + 4 + 6 + 8 + 10 + 12 = 

$\sum _{i=1}^6(2i)$.

② 15 + 10 + 5 + 0 - 5 - 10 - 15

Pola dari deret di atas adalah sebagai berikut:

• 15 = 20 - 5 = 20 - (5 x 1)
• 10 = 20 - 10 = 20 - (5 x 2)
• 5 = 20 - 15 = 20 - (5 x 3)
• 0 = 20 - 20 = 20 - (5 x 4)
• -5 = 20 - 25 = 20 - (5 x 5)
• -10 = 20 - 30 = 20 - (5 x 6)
• -15 = 20 - 35 = 20 - (5 x 7)

Berdasarkan pola di atas, dapat kita simpulkan bahwa rumus umum dari deret di atas
adalah Uj = 20 - 5j. Selanjutnya, karena banyak suku adalah 7, maka
15 + 10 + 5 + 0 - 5 - 10 - 15 =

③ a + 3a2 + 9a3 + 27a4

Pola dari deret di atas adalah sebagai berikut:

• a = a x (3a)0
• 3a2 = a x (3a)1
• 9a3 = a x (3a)2
• 27a4 = a x (3a)3

Berdasarkan pola di atas, dapat kita simpulkan bahwa rumus umum dari deret di atas
adalah Uk = a x (3a)(k - 1). Selanjutnya, karena banyak suku adalah 4, maka
a + 3a2 + 9a3 + 27a4 = 

④ -5 + 9 - 13 + 17 - 21

Pola dari deret di atas adalah sebagai berikut:

• -5 = (-1)1 x (4 x 1 + 1)
• 9 = (-1)2 x (4 x 2 + 1)
• -13 = (-1)3 x (4 x 3 + 1)
• 17 = (-1)4 x (4 x 4 + 1)
• -21 = (-1)5 x (4 x 5 + 1)

Berdasarkan pola di atas, dapat kita simpulkan bahwa rumus umum dari deret di atas
adalah Un = (-1)n x (4 x n + 1). Selanjutnya, karena banyak suku adalah 5, maka
-5 + 9 - 13 + 17 - 21 = 

SIFAT-SIFAT NOTASI SIGMA

Apakah kalian sudah paham tentang bagaimana menuliskan deret dengan notasi sigma?

Selain untuk menyederhanakan bentuk penulisan deret, notasi sigma juga digunakan dalam perhitungan deret.

Nah, bagaimanakah sifat-sifat notasi sigma?
Yuk kita cermati beberapa sifat berikut.

Ketujuh sifat notasi sigma di atas akan lebih mudah untuk dipahami dalam bentuk contoh soal. 

Yuk kita cermati beberapa contoh soal berikut.

Contoh 1: Hitunglah nilai dari 

Penyelesaian:

Oleh karena batas bawah dari notasi sigma pada soal adalah 8, maka kita perlu mengubah batas bawah dari notasi sigma tersebut menjadi 1. Nah, sifat notasi sigma yang akan kita gunakan adalah sifat no. 7.

Berdasarkan sifat tersebut,

Selanjutnya, jika kita gunakan sifat no. 2, maka 

Contoh 2: Jabarkan notasi sigma 

 dalam bentuk penjumlahan lengkap.

Penyelesaian:

Untuk menyatakan notasi sigma ke dalam penjumlahan lengkap, kita perlu mensubstitusikan nilai j mulai dari batas bawah sampai dengan batas atas ke dalam rumus umum deret.

Dengan demikian,

Contoh 3:
Tulislah notasi sigma 

 

dengan batas bawah 1 dan batas atas 12.

Penyelesaian:

Dalam mengubah batas bawah atau batas atas suatu notasi sigma, kita perlu menggunakan sifat no. 7.

Jika batas bawah diubah menjadi 1, maka

Jika batas atas diubah menjadi 12, maka

Selanjutnya, untuk menentukan jumlah suatu deret yang dinyatakan dalam notasi sigma, digunakan sifat-sifat berikut:

Contoh 4:
Tentukan jumlah dari 

Penyelesaian:

Sumber : learn.quipper.com

Penerapan Induksi Matematika

 ✎✏✐ Penerapan Induksi Matematika ✐✏✎

Setiap cabang olahraga umumnya memiliki sistem penskoran masing-masing. Misalnya dalam sepak bola sistem skor yang digunakan adalah sistem 1 poin (skor 1 untuk tiap gol). Pada bola basket, sistem skor yang digunakan adalah sistem 2 poin (untuk tembakan dari dalam busur ring) dan 3 poin (untuk tembakan dari luar busur ring). Dalam tinju digunakan sistem 9 poin dan 10 poin (skor 10 untuk petinju yang lebih unggul per ronde). Tahukah kamu, bahwa dalam suatu perlombaan yang menggunakan sistem penskoran 5 poin dan 7 poin, suatu tim atau atlet tidak mungkin memperoleh total skor 23? Akan tetapi, tim tersebut selalu mungkin untuk memperoleh total skor yang lebih dari 23 misalnya 24, 25, 26, dan seterusnya. Pada topik ini, kamu akan menerapkan prinsip induksi matematika untuk menjelaskan masalah penskoran tersebut.

       Pada topik-topik sebelumnya, kamu telah mempelajari prinsip induksi matematika (induksi matematika lemah) dan induksi matematika kuat. Prinsip induksi matematika (lemah) digunakan untuk menentukan kebenaran dari pernyataan ke-(k + 1) berdasarkan pernyataan sebelumnya yaitu pernyataan ke-k. Prinsip induksi matematika kuat digunakan untuk membuktikan kebenaran dari pernyataan ke-(k+ 1) berdasarkan satu atau lebih pernyataan sebelumnya. Umumnya, kedua prinsip induksi matematika tersebut digunakan untuk membuktikan rumus penjumlahan bilangan dan pertidaksamaan. Secara matematis, kedua bentuk induksi matematika ini dapat dinyatakan sebagai berikut.

Prinsip Induksi Matematika

Induksi matematika merupakan cara penarikan kesimpulan untuk membuktikan bahwa semua bilangan asli n memenuhi sifat P (n) dengan langkah-langkah sebagai berikut.

• Langkah dasar: P (n) benar untuk n = 1.

• Langkah induksi:
  untuk setiap bilangan asli k, jika F (n) benar, maka P (k + 1) juga bernilai benar.

• Kesimpulan:
  P (n) benar untuk semua bilangan asli n.

Prinsip Induksi Matematika Kuat

Induksi matematika kuat merupakan suatu cara penarikan kesimpulan untuk membuktikan bahwa semua bilangan asli n memenuhi sifat P (n) dengan langkah-langkah sebagai berikut.

• Langkah dasar: P (n) benar untuk n = 1.

• Langkah induksi:
  untuk setiap bilangan asli k, jika P (1), P (2), P (3), ... , P (k) benar, maka P (k + 1) juga bernilai benar.

• Kesimpulan:
  P (n) benar untuk setiap bilangan asli n.

       Kedua bentuk induksi matematika tersebut memiliki kesamaan dengan efek domino. Coba kamu bayangkan suatu susunan domino yang tersusun rapat. Jika domino pertama jatuh yang berarti P (1) benar, maka akan mengakibatkan domino-domino berikutnya jatuh (P (2), P (3), ... , P (k), P (k + 1) benar), sehingga akhirnya semua domino yang ada terjatuh (P (n) benar).

       Mari pelajari beberapa contoh berikut ini dengan saksama. Contoh-contoh tersebut memberikan gambaran penerapan prinsip induksi matematika. Penerapan induksi matematika kuat akan dibahas pada topik berikutnya.

✎ Contoh 1

Misalkan kamu berada dalam suatu antrian untuk membeli ayam goreng. Orang pertama yang berada paling depan memesan dada goreng crispy. Ketika orang yang berada tepat di depanmu memesan dada goreng crispy, kamu dan orang di belakangmu juga memesannya. Berapa banyak orang dalam antrian yang memesan dada goreng crispy?

Penyelesaian:

Dengan menggunakan prinsip induksi matematika, mari kita analisis informasi pada soal.

Misalkan terdapat sebanyak n orang yang mengantri dengan x1 , x2 , x3 , ... , xn melambangkan orang dalam antrian tersebut.

Ini berarti, kamu tidak dapat dengan pasti menentukan urutan antrianmu.

Misalkan x1 dan xn berturut-turut melambangkan orang pertama dan terakhir dalam antrian.

Langkah-langkah pembuktiannya adalah sebagai berikut.

♦ Langkah Dasar
Orang pertama dalam antrian memesan dada goreng crispy, P (x1) benar.

♦ Langkah Induksi
Jika orang di depan kamu memesan dada goreng crispy (P (xk) benar), maka kamu juga memesan dada goreng crispy (P (xk + 1) benar).

♦ Kesimpulan
Jadi, semua orang dalam antrian memesan dada goreng crispy (F (xk) benar).

Catatan:
Induksi matematika dalam antian ini terjadi karena terdapat suatu kondisi yaitu ketika seseorang (kamu) memesan dada goreng crispy, orang pada urutan berikutnya juga memesan ayam goreng crispy.

✎ Contoh 2

Rani dan Fani bermain lempar koin dengan aturan sebagai berikut. Jika sisi koin yang muncul adalah sisi gambar, maka ia memperoleh skor 3. Jika sisi angka yang muncul, maka ia memperoleh skor 5. Buktikan bahwa, mereka selalu mungkin untuk memperoleh total skor yang lebih dari atau sama dengan 8.
Penyelesaian:

Misalkan P (n) menyatakan total skor yang merupakan kombinasi jumlah dari beberapa skor 3 dan 5.
Ini berarti, P (n) dapat dituliskan sebagai kombinasi penjumlahan dari 3 dan 5 yaitu P (n) = P (x, y) = 3x + 5y dengan x dan y menyatakan banyaknya skor 3 dan skor 5 yang dapat digunakan untuk mendapatkan total skor P (n).

Langkah-langkah pembuktiannya adalah sebagai berikut.

♦ Langkah Dasar

Untuk n = 1:
P (1) = P (1, 1) = 3(1) + 5(1) = 3 + 5 = 8

Ini berarti, total skor 8 dapat diperoleh dari satu buah skor 3 dan satu buah skor 5.

∴ P (1) benar.

♦ Langkah Induksi

Untuk setiap bilangan asli k, andaikan P (k) ≥ 8 benar.

Ini berarti P (k) = P (x, y) = 3x + 5y ≥ 8.
Selanjutnya, akan ditunjukkan bahwa P (k + 1) ≥ 8 juga benar.

Kebenaran P (k + 1) ≥ 8 ditunjukkan dengan memodifikasi kombinasi banyaknya skor 3 dan 5 pada P (k) = P (x, y) = 3x + 5y ≥ 8
dengan cara-cara sebagai berikut.

• Mengganti 4 buah skor 3 dengan 4 buah skor 5.

• Mengganti 2 buah skor 5 dengan 6 buah skor 3.

Oleh karena P (k) ≥ 8 benar dan k + 1 > k, maka P (k + 1) ≥ 8.
Ini berarti, terbukti bahwa P (k + 1) ≥ 8 benar.

♦ Kesimpulan
Jadi, mereka selalu mungkin untuk memperoleh total skor yang lebih dari atau sama dengan 8.

✎ Contoh 3

Buktikan bahwa jumlah n bilangan asli ganjil pertama sama dengan n2 untuk n ≥ 1.
Penyelesaian:

Untuk beberapa kasus sederhana, seperti:
1 + 3 = 22
1 + 3 + 5 = 33
1 + 3 + 5 + 7 = 42

Hasil penjumlahan untuk beberapa bilangan ganjil pertama mudah diperiksa. Namun, untuk penjumlahan yang melibatkan banyak bilangan ganjil, pengecekan akan mustahil dilakukan satu per satu. Untuk itu, kita dapa menggunakan prinsip induksi matematika untuk membuktikan pernyataan tersebut.

Misalkan S (n) menyatakan jumlah n bilangan ganjil pertama.

Langkah-langkah pembuktiannya adalah sebagai berikut.

♦ Langkah Dasar

Untuk n = 1, S (1) = 1 = 12 benar.

♦ Langkah Induksi

Untuk setiap bilangan asli k, andaikan S (k) benar.

Selanjutnya, akan ditunjukkan bahwa S (k + 1) juga benar sebagai berikut.

Tambahkan kedua ruas dengan 2k + 1.

Ini berarti, terbukti bahwa S (k + 1) benar.

♦ Kesimpulan
Jumlah n bilangan asli ganjil pertama sama dengan n2 benar untuk n ≥ 1.

Sumber : learn.quipper.com

Sistem Pertidaksamaan Dua Variabel (linear-kuadrat dan kuadrat-kuadrat) (4)

Model Matematika Sistem Pertidaksamaan Kuadrat Dua Variabel

Pada topik sebelumnya kita telah mempelajari konsep pertidaksamaan kuadrat dua variabel. Dalam topik ini kita akan mempelajari model matematika sistem pertidaksamaan kuadrat dua variabel.
Sebelum kita memulai topik model matematika sistem pertidaksamaan kuadrat dua variabel, marilah kita mengingat kembali konsep dari sistem pertidaksamaan kuadrat dua variabel.

Sistem Pertidaksamaan kuadrat dua variabel
Pertidaksamaan kuadrat dua variabel merupakan pertidaksamaan yang memuat dua variabel dengan pangkat tertinggi dua.
Contoh bentuk umum pertidaksamaan kuadrat dua variabel

Apakah kalian sudah ingat kembali? Jika sudah, mari kita pelajari model matematika sistem Pertidaksamaan kuadrat dua variabel

Model Matematika Sistem Pertidaksamaan Kuadrat Dua Variabel

Langkah – langkah dalam menyelesaikan model matematika sistem pertidaksamaan kuadrat dua variabel yaitu :
1. Mencari kata – kata seperti “ kurang dari”(<), “lebih dari”(>), “tidak lebih dari”(≤), tidak kurang dari”(≥).
2. Setelah menemukan kata – kata tersebut merumuskan model matematika dari masalah
3. Menentukan penyelesaian dari model matematika
4. Memberikan penafsiran dari hasil yang didapat
Agar lebih memahami marilah kita mencermati contoh dibawah ini
Contoh:
Panjang dan lebar dari persegi panjang ABCD masing – masing 30 cm dan 20 cm bagian tepi persegi panjang tersebut dipotong selebar x2 sehingga diperoleh persegi panjang PQRS. Jika keliling persegi panjang PQRS tidak kurang dari 52 cm maka tentukan batas – batas x yang dapat dilakukan.
Penyelesaian:
Misal panjang persegi panjang PQRS = 30- 2x2 , lebar persegi panjang PQRS = 20 – 2x2
Keliling persegi panjang PQRS ≤ 52
2( p + l) ≤ 52
2(30 – 2x2 + 20 -2x2 ) ≤ 52
2( 50 – 4x2 ) ≤ 52
100 – 8x2 ≤ 52
-8x2 ≤ 52 -100
8x2 ≥ 48
x2 ≥ 6

Panjang persegi panjang PQRS ≥ 0
30 – 2x2 ≥ 0
-2x2 ≥ - 30
2x2 ≤ 30
x2 ≤ 15

Batas – batas yang dapat dilakukan

Sumber : Quipperschool